\begin{filecontents*}{refs.bib}
	@misc{godplaysdice,
		author = {God plays dice},
		howpublished = {\href{https://gottwurfelt.com/2023/05/22/translate-eleven-plus-two-twelve-plus-one-into-spanish/}{Translate “ELEVEN PLUS TWO = TWELVE PLUS ONE” into Spanish}},
		year = {2023}
	}
	@misc{reddit,
		author = {u/Lucpel18},
		howpublished = {\href{https://www.reddit.com/r/math/comments/1372eiu/i_assigned_each_letter_to_a_variable_so_that_if/}{I assigned each letter to a variable...}},
		year = {2023}
	}
	@misc{wolframalpha,
		author = {WolframAlpha},
		howpublished = {\href{https://www.wolframalpha.com/input?i=j*f*d*a*n%3D1%2Cd*v*a%3D2%2Ct*r*i%3D3%2C%C4%8D*f*t*i*r*i%3D4%2Cp*f*t%3D5%2C%C5%A1*f*s*t%3D6%2Cs*f*d*a*m%3D7%2Co*s*a*m%3D8%2Cd*f*v*f*t%3D9%2Cd*f*s*f*t%3D10%2Cj*f*d*a*n*a*f*s*t%3D11%2Cd*v*a*n*a*f*s*t%3D12&assumption=%22i%22+-%3E+%22Variable%22}{https://www.wolframalpha.com/input?i=j*f...}},
		year = {2023}
	}
\end{filecontents*}

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\AddToHook{cmd/section/before}{\clearpage}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[T2A, T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{array}
\usepackage{longtable}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{csquotes}
\usepackage[hyphens]{url}
\usepackage[colorlinks]{hyperref}
\title{Једно слово -- једна променљива}
\author{Бранко Кокановић}
\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\section{Увод}
На блогу који пратим се појавио чланак\cite{godplaysdice} који се бавио релативно различитом темом, али сам на њему нашао линк ка Reddit питању\cite{reddit} које ме је заинтригирало. Наиме, идеја поста је била да се свако слово третира као променљива и да се запис бројева своди на множење ових променљивих, па би се тако добиле следеће једначине на енглеском:
\begin{gather}
	o \cdot n \cdot e = 1 \notag\\
	t \cdot w \cdot o = 2 \notag\\
	t \cdot h \cdot r \cdot e \cdot e = 3 \notag\\
	\dots \notag
\end{gather}

На том Reddit посту су се одмах нашли одговори и за остале језике и наравно, прво што ми је пало на памет је да урадим анализу за српски. Питање је дакле, коју вредност имају овако дефинисане променљиве и до ког броја можемо да формирамо ове једначине.

\section{Поставка задатка}

Свако слово aбецеде ($a, \check c, \check s, c, \dots$)\footnote{или азбуке, свеједно је, али лакше је држати се латинице код математичких формула} третирамо као непознату променљиву из скупа реалних бројева. Формирамо једначине тако да је писање бројева словима на српском језију заправо формирање једначине где се слова множе, почевши од један:

\begin{gather}
	j \cdot e \cdot d \cdot a \cdot n = 1 \notag\\
	d \cdot v \cdot a = 2 \notag\\
	t \cdot r \cdot i = 3 \notag\\
	\dots \notag
\end{gather}
што можемо краће да запишемо и као:
\begin{gather}
	jedan = 1 \notag\\
	dva = 2 \notag\\
	tri = 3 \notag\\
	\check c etiri = 4 \notag\\
	\dots \notag
\end{gather}

До ког броја можемо да формирамо овакве једначине и које су вредности слова (ако не рачунамо тривијална решења једначина где су већина слова нула)?

\section{Број једначина}

Пре него што израчунамо вредности сваког слова, прво морамо да докажемо до ког слова можемо да формирамо једначине на овај начин.

\subsection{Налажење горње границе}

Број једначина не може бити већи од броја употребљених слова, па нам је то горња граница. Ако формирамо табелу са једначинама бројећи употребљена слова добијамо:

\begin{longtable}{
				>{\centering\arraybackslash} m{0.3\textwidth} | 
				>{\centering\arraybackslash} m{0.2\textwidth} | 	>{\centering\arraybackslash} m{0.4\textwidth}
		}
		Број употребљених променљивих & Број једначина &
		Једначина \\
		\hline
		\endhead
		5 ($jedan$) & 1 &
		\begin{gather}
			jedan = 1 \label{jedan}
		\end{gather}\\
		6 ($jedan + v$)\footnote{Пошто су \enquote{$d$} i \enquote{$a$} већ виђени у формули \ref{jedan}} & 2 &
		\begin{gather}
			dva = 2 \label{dva}
		\end{gather}\\
		9 ($jedanv + tri$) & 3 &
		\begin{gather}
			tri = 3 \label{tri}
		\end{gather}\\
		11 ($jedanvtri + \check{c}e$) & 4 &
		\begin{gather}
			\check cetiri = 4 \label{cetiri}
		\end{gather}\\
		12 ($jedanvtri\check{c}e + p$) & 5 &
		\begin{gather}
			pet = 5 \label{pet}
		\end{gather}\\
		12 ($jedanvtri\check{c}ep + \check{s}s$) & 6 &
		\begin{gather}
			\check{s}est = 6 \label{sest}
		\end{gather}\\
		13 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}s + m$) & 7 &
		\begin{gather}
			sedam = 7 \label{sedam}
		\end{gather}\\
		14 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}sm + o$) & 8 &
		\begin{gather}
			osam = 8 \label{osam}
		\end{gather}\\
		15 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smo + v$) & 9 &
		\begin{gather}
			devet = 9 \label{devet}
		\end{gather}\\
		15 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smov + \emptyset$) & 10 &
		\begin{gather}
			deset = 10 \label{deset}
		\end{gather}\\
		15 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smov + \emptyset$) & 11 &
		\begin{gather}
			jedanaest = 11 \label{jedanaest}
		\end{gather}\\
		15 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smov + \emptyset$) & 12 &
		\begin{gather}
			dvanaest = 12 \label{dvanaest}
		\end{gather}\\
		15 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smov + \emptyset$) & 13 &
		\begin{gather}
			trinaest = 13 \label{trinaest}
		\end{gather}\\
		15 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smov + \emptyset$) & 14 &
		\begin{gather}
			\check{c}etrnaest = 14
		\end{gather}\\
		15 ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smov + \emptyset$) & 15 &
		\begin{gather}
			petnaest = 15 \label{petnaest}
		\end{gather}\\
		\colorbox{red!50}{15} ($jedanvtri\check{c}ep\check{s}smov + \emptyset$) & \colorbox{red!50}{16} &
		\begin{gather}
			\check{s}esnaest = 16 \label{sesnaest}
		\end{gather}\\
\end{longtable}

Види се да код једначине \ref{sesnaest} постоји више променљивих него једначина и да за овај број већ нема решења. Дакле, максимални број једначина је 15, тј. до једначине \ref{petnaest}, али и то је само горња граница. Морамо да видимо да нема везаних променљивих пре тога.

\subsection{Елиминисање везаних променљивих} \label{eliminisanje}

Овај део је мало и уметност наћи, али треба приметити бројеве који се завршавају на \enquote{$aest$}. Делује да ту има везаних променљивих, али треба ићи редом. Из једначина \ref{jedan} и \ref{jedanaest}, закључујемо да:

\begin{gather}
	(jedan)aest = 11 \notag \\
	aest = 11 \label{aest}
\end{gather}

Из једначина \ref{dva}, \ref{dvanaest} и \ref{aest}, можемо да извучемо вредност $n$:
\begin{gather}
	(dva)n(aest) = 12 \notag \\
	2 \cdot n \cdot 11 = 12 \notag \\
	n = \frac{6}{11} \label{n}
\end{gather}

Сад када покушамо да убацимо резултате из \ref{tri}, \ref{aest} и \ref{n}, видимо да се то не уклапа са \ref{trinaest}:
\begin{gather}
	(tri)n(aest) \stackrel{?}{=} 13 \notag \\
	3 \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{1}{11} \stackrel{?}{=} 13 \notag \\
	\frac{18}{121}\neq 13 \label{n}
\end{gather}

Овим смањујемо горњу границу за највећи број који може да се представи овим задатком у српском језику на број дванаест (12). Ово није доказ да је ово и највећи, али пробаћемо да решимо једначине сад и да видимо да ли имамо још скривених везаних променљивих. Ако успемо да решимо систем ових 12 једначина, то је уједно и доказ да нема више везаних променљивих.

\section{Вредности слова} \label{vrednostislova}

Постоји више варијанти да се реши овај задатак. Једна је свакако коришћење математичких софтвера, а други је узимање логаритама свих једначина са обе стране и пребацивање проблема из домена множења у домен сабирања. Овде ћемо користити \enquote{пешачки} начин.

Да поновимо 12 једначина од којих ћемо кренути:

\begin{center}
\begin{tabular}{
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth}
	}
	\begin{gather}jedan = 1 \tag{\ref{jedan}} \end{gather} &
	\begin{gather}dva = 2 \tag{\ref{dva}}\end{gather} &
	\begin{gather}tri = 3 \tag{\ref{tri}}\end{gather} &
	\begin{gather}\check{c}etiri = 4 \tag{\ref{cetiri}}\end{gather}\\
	\hline

	\begin{gather}pet = 5 \tag{\ref{pet}} \end{gather} &
	\begin{gather}\check{s}est = 6 \tag{\ref{sest}}\end{gather} &
	\begin{gather}sedam = 7 \tag{\ref{sedam}}\end{gather} &
	\begin{gather}osam = 8 \tag{\ref{osam}}\end{gather}\\
	\hline
	
	\begin{gather}devet = 9 \tag{\ref{devet}} \end{gather} &
	\begin{gather}deset = 10 \tag{\ref{deset}}\end{gather} &
	\begin{gather}jedanaest = 11 \tag{\ref{jedanaest}}\end{gather} &
	\begin{gather}dvanaest = 12 \tag{\ref{dvanaest}}\end{gather}\\
\end{tabular}
\end{center}

Као што смо већ рекли у поглављу \ref{eliminisanje}, можемо да једначине \ref{jedanaest} и \ref{dvanaest} заменимо једноставнијим верзијама -- једначинама \ref{aest} и \ref{n}. Тиме добијамо следећи скуп једначина:

\begin{center}
\begin{tabular}{
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth}
	}
	\begin{gather}jedan = 1 \tag{\ref{jedan}} \end{gather} &
	\begin{gather}dva = 2 \tag{\ref{dva}}\end{gather} &
	\begin{gather}tri = 3 \tag{\ref{tri}}\end{gather} &
	\begin{gather}\check{c}etiri = 4 \tag{\ref{cetiri}}\end{gather}\\
	\hline
	
	\begin{gather}pet = 5 \tag{\ref{pet}} \end{gather} &
	\begin{gather}\check{s}est = 6 \tag{\ref{sest}}\end{gather} &
	\begin{gather}sedam = 7 \tag{\ref{sedam}}\end{gather} &
	\begin{gather}osam = 8 \tag{\ref{osam}}\end{gather}\\
	\hline
	
	\begin{gather}devet = 9 \tag{\ref{devet}} \end{gather} &
	\begin{gather}deset = 10 \tag{\ref{deset}}\end{gather} &
	\begin{gather}aest = 11 \tag{\ref{aest}}\end{gather} &
	\begin{gather}n = \frac{6}{11} \tag{\ref{n}}\end{gather}\\
\end{tabular}
\end{center}


Следеће што ћемо урадити је ослободити се оних променљивих које се појављују само једном, а то су \enquote{$\check{s}$}, \enquote{$\check{c}$}, \enquote{$o$}, \enquote{$m$}, \enquote{$j$} и \enquote{$p$}.

Да бисмо се ослободили \enquote{$\check{s}$}, поделимо једначине \ref{sest} и \ref{aest}:
\begin{equation}\label{sh}
	\frac{\check{s}est}{aest} = \frac{6}{11} \ \Rightarrow \ \check{s} = \frac{6a}{11}
\end{equation}

Можемо да извучемо и \enquote{$\check{c}$} ако поделимо једначине \ref{tri} и \ref{cetiri}:
\begin{equation}\label{ch}
	\frac{\check{c}etiri}{tri} = \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ \check{c}ei = \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ \check{c} = \frac{4}{3ei}
\end{equation}

Да се ослободимо \enquote{$o$}, поделимо једначине \ref{osam} и \ref{sedam} да изразимо \enquote{$o$} преко \enquote{$e$} и \enquote{$d$}:
\begin{equation}\label{o}
	\frac{osam}{sedam} = \frac{8}{7} \ \Rightarrow \ \frac{o}{ed} = \frac{8}{7} \ \Rightarrow \ o = \frac{8ed}{7}
\end{equation}

За \enquote{$m$}, поделимо једначине \ref{sedam} и \ref{jedan}:
\begin{equation}\label{m}
	\frac{sedam}{jedan} = \frac{7}{1} \ \Rightarrow \ \frac{sm}{jn} = 7 \ \Rightarrow \ m = \frac{7jn}{s}
\end{equation}

Да се ослободимо \enquote{$j$}, нема неке добре једначине-кандидата, али можемо нпр. да поделимо једначине \ref{jedan} и \ref{dva}:
\begin{equation}\label{j}
	\frac{jedan}{dva} = \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \frac{jen}{v} = \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ j = \frac{v}{2en}
\end{equation}

За \enquote{$p$}, најбољи кандидат је једначина \ref{aest}, па ћемо поделити \ref{pet} и \ref{aest}:
\begin{equation}\label{p}
	\frac{pet}{aest} = \frac{5}{11} \ \Rightarrow \ \frac{p}{as} = \frac{5}{11} \ \Rightarrow \ p = \frac{5as}{11}
\end{equation}

Нови скуп једначина (мало преуређен да просте једначине гурнемо на крај) је сад:

\begin{center}
\begin{tabular}{
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth}
	}
	\begin{gather}dva = 2 \tag{\ref{dva}}\end{gather} &
	\begin{gather}tri = 3 \tag{\ref{tri}}\end{gather} &
	\begin{gather}devet = 9 \tag{\ref{devet}}\end{gather} &
	\begin{gather}deset = 10 \tag{\ref{deset}}\end{gather} \\
	\hline

	\begin{gather}aest = 11 \tag{\ref{aest}}\end{gather} &
	\begin{gather}n = \frac{6}{11} \tag{\ref{n}}\end{gather} &
	\begin{gather}\check{s} = \frac{6a}{11} \tag{\ref{sh}}\end{gather} &
	\begin{gather}\check{c} = \frac{4}{3ei} \tag{\ref{ch}}\end{gather} \\
	\hline

	\begin{gather}o = \frac{8ed}{7} \tag{\ref{o}}\end{gather} &
	\begin{gather}m = \frac{7jn}{s} \tag{\ref{m}}\end{gather} &
	\begin{gather}j = \frac{v}{2en} \tag{\ref{j}}\end{gather} &
	\begin{gather}p = \frac{5as}{11} \tag{\ref{p}}\end{gather} \\
\end{tabular}
\end{center}

Остало нам је 5 нетривијалних једначина и 8 променљивих ($d$, $v$, $a$, $t$, $r$, $i$, $e$ и $s$). Сад ћемо пробати да урадимо пар логичких субституција, за оне променљиве које се ређе појављују, нпр. можемо да се ослободимо \enquote{$v$}. Ако поделимо једначине \ref{devet} и \ref{deset}, можемо да изразимо \enquote{$v$} преко \enquote{$s$} као:
\begin{equation}\label{v}
	\frac{devet}{deset} = \frac{9}{10} \ \Rightarrow \ v=\frac{9s}{10} 
\end{equation}

а \enquote{$dva$} постаје:
\begin{equation} \label{dsa}
	d(v)a = 2 \ \Rightarrow \ d\frac{9s}{10}a = 2 \ \Rightarrow \ dsa = \frac{20}{9}
\end{equation}

Такође, када смо се раније отарасили променљиве \enquote{$\check{c}$} у \ref{ch}, видимо да нам је у једначини \ref{tri} остала променљива \enquote{r} која се тривијално мења са:
\begin{equation} \label{r}
	r = \frac{3}{ti}
\end{equation}

Међутим, ово када смо урадили, тотално смо раскачили променљиву \enquote{$i$}, тј. она је сад независна, а не смемо да заборавимо да су променљиве \enquote{$\check{c}$} и \enquote{$r$} сад зависне од ње, тј.
\begin{gather}
	\check{c} = f(i) \notag \\
	r = f(i) \notag
\end{gather}

Нови скуп једначина су сад само 3 једначине и 5 променљивих ($d$, $e$, $s$, $t$ и $a$):
\begin{gather}
	deset = 10 \tag{\ref{deset}} \\
	aest = 11 \tag{\ref{aest}} \\
	dsa = \frac{20}{9} \tag{\ref{dsa}}
\end{gather}

Сад можемо да узмемо 2 било које променљиве и да изразимо преостале 3 преко њих. Ако поделимо једначине \ref{deset} и \ref{aest}, можемо да изразимо \enquote{$e$} преко \enquote{$a$} и \enquote{$d$}:
\begin{equation} \label{e}
	\frac{deset}{aest} = \frac{10}{11} \ \Rightarrow \ 11de = 10a \ \Rightarrow \ e = \frac{10a}{11d}
\end{equation}

Кад смо се одлучили да је $e=f(a,d)$, можемо исто да урадимо и са \enquote{$s$}, тј. да је изразимо преко \enquote{$a$} и \enquote{$d$}, директно из једначине \ref{dsa}:
\begin{equation} \label{s}
	s = \frac{20}{9ad}
\end{equation}

Да на крају изразимо и \enquote{$t$} преко \enquote{$a$} и \enquote{$d$}, користимо једначину \ref{aest} и мењамо у њој \enquote{$e$} из једначине \ref{e} и \enquote{$s$} из једначине \ref{s}:
\begin{equation} \label{t}
	a(e)(s)t = 11 \ \Rightarrow \ a\frac{10a}{11e}\frac{20}{9ad}t = 11 \ \Rightarrow \ t = \frac{1089d^2}{200a}
\end{equation}

Коначни скуп једначина гласи:

\begin{center}
\begin{tabular}{
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth} |
		>{\centering\arraybackslash} m{0.25\textwidth}
	}
	
	\begin{gather}n = \frac{6}{11} \tag{\ref{n}}\end{gather} &
	\begin{gather}\check{s} = \frac{6a}{11} \tag{\ref{sh}}\end{gather} &
	\begin{gather}e = \frac{10a}{11d} \tag{\ref{e}}\end{gather} &
	\begin{gather}s = \frac{20}{9ad} \tag{\ref{s}}\end{gather} \\
	\hline
	
	\begin{gather}t = \frac{1089d^2}{200a} \tag{\ref{t}}\end{gather} &
	\begin{gather}\check{c} = \frac{4}{3ei} \tag{\ref{ch}}\end{gather} &
	\begin{gather}v=\frac{9s}{10}  \tag{\ref{v}}\end{gather} &
	\begin{gather}p = \frac{5as}{11} \tag{\ref{p}}\end{gather} \\
	\hline

	\begin{gather}r = \frac{3}{ti} \tag{\ref{r}}\end{gather} &
	\begin{gather}j = \frac{v}{2en} \tag{\ref{j}}\end{gather} &
	\begin{gather}m = \frac{7jn}{s} \tag{\ref{m}}\end{gather} &
	\begin{gather}o = \frac{8ed}{7} \tag{\ref{o}}\end{gather} \\
\end{tabular}
\end{center}

Приметити да у овом систему 12 једначина нема променљивих \enquote{$i$}, \enquote{$a$} и \enquote{$d$} које су независне од остатка система.

\subsection{Алтернативни начини решавања}

Поред представљеног пешачког начина, могуће је решити све ово лакше, преко Wolfram Alfa платформе. На овом\cite{wolframalpha} линку можете директно видети решење. Приметити да променљива \enquote{$i$} мора да се нагласи да се не мисли на имагинарну јединицу, а да променљива \enquote{$e$} мора да се замени неким другим словом (\enquote{$f$} у примеру). Кликом на \enquote{Exact form} се добија и решење преко разломака што је решење које је и овде добијено у поглављу \ref{vrednostislova}.


\subsection{Примери решења}

Као што смо рекли, неке променљиве су зависне од других, па \enquote{$i$}, \enquote{$a$} и \enquote{$d$} можемо да поставимо на произвољне вредности, а најлакше је да им свима доделимо број 1. Остале вредности онда лако произилазе, када их све редом израчунамо и скратимо разломке:
\begin{gather}
	i = 1 \notag \\
	a = 1 \notag \\
	d = 1 \notag \\
	n = \frac{6}{11} \notag \\
	\check{s} = \frac{6}{11} \notag \\
	e = \frac{10}{11} \notag \\
	s = \frac{20}{9} \notag \\
	t = \frac{1089}{200} \notag \\
	\check{c} = \frac{22}{15} \notag \\
	v = 2 \notag \\
	p = \frac{100}{99} \notag \\
	r = \frac{200}{363} \notag \\
	j = \frac{121}{60} \notag \\
	m = \frac{693}{200} \notag \\
	o = \frac{80}{77} \notag
\end{gather}

Решења нису нешто елегантна, али је овај задатак бар решен и за српски језик.

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{refs}




\end{document}